对数螺旋线（等角螺旋线）数学公式推导

在某些论文或文章里看到对数(等角)螺旋线的公式： 。但是搜索了一下，通常都是一些讲解对数等角螺旋线的性质的结果以及公式结果，并没有详细的公式推导。当然对于大多数人只要知道上述公式就好了，当作一个结论公式使用。

当然也有像我这样的想知道公式怎么推出了的，因此我写下这篇文章，希望能够帮助到大家。因本人才疏学浅，文章定有不足，希望大家能够在评论区讨论以及指正。

废话不多说，开启正文！

一、图形引入

下面是对数(等角)螺旋线的图片，可以清晰看出它的性质：图中曲线的在一任意点P处的切线与圆心O到这一点的连线所成角度α不变，也就是α是一个定值。

二、数学公式推导

若在极坐标系中，对数(等角)螺旋线的极坐标方程为:,其中θ表示任意一点P的角度，因此该点极坐标为。由推导可知该点的切向量为

切向量推导过程如下：

点P的极坐标为,因此在直角坐标系中的坐标为

再分别对x,y轴坐标进行求导， ，

因此可得该点的切向量为：

因为α为该点的切向量与圆心连线的夹角，并且α是一个定值，这个角的大小永远不变，那么接下来就是要求出这个定值，推导过程如下：

求解过程如下：

已知两向量的夹角公式为：，

所以

对上式化简：

得到的值后，继续求得的值：

求解过程如下：

已知可求得，因为

所以，

已知可得，因为

所以，

继续求得最终对数(等角)螺旋线的极坐标方程：

极坐标方程推导如下：

已知

对上述式子两端积分可得，，其中为常数

化简上式，得到

所以，对数(等角)螺旋线的极坐标方程为：，a为常数

三、性质

以上便是对数(等角)螺旋线极坐标方程的推导，根据公式：，可以得到一些性质。

对于每一个θ，都有一个r值相对应；当θ=0时，r=a，因此a可以影响螺旋线距离圆心的距离。其他的性质就不说那么多了，百度上很多讲性质的。

总结：打公式不易，如有错误欢迎指正！麻烦点赞收藏给个鼓励，谢谢~

最后再补充一张MATLAB实现的图吧！